大自然，您是我的女神，我一生的效劳都服从于您的规律。

                                         ——莎士比亚

      在18世纪和19世纪之交处，耸立着卡尔·弗雷德里希·高斯雄伟的丰碑。以欧拉、拉格朗日为代表的18世纪数学家，把微积分用于自然探索和工程技艺，产生了微分方程、变分法等众多的数学分支。在获得丰硕成果的同时，牛顿的机械唯物论自然观强化了对科学家思想的统治，以致在18世纪末期，不少数学家对数学本身产生了悲观情绪。似乎数学为自然现象建立起微分方程，给出它的求解方法，就万事大吉了；而有的课颗又太复杂，看不出有任何解决的希望。

        当然，悲观的迷雾最终为数学发展的光辉事实所驱散。只要面对生活和生产的实际，数学就会得到新的动力而不断前进。工业革命的深入为此提供了广阔的天地。与此相呼应的法国大革命，结束了封建专制在欧洲的长期统治。这个人类思想解放的伟大运动，也给数学注入了活力。新概念、新思想不断涌现。从苦难深重的德国大地上升起的一颗灿烂的明星——卡尔·弗雷德里希·高斯，宣告了新的数学发展高潮的到来。高斯在数学各个领域的伟大贡献，特别是在数论和几何学上的创新，深刻影响着后世数学的发展。随后又有柯西、黎曼等群星的推进，使19世纪的数学空前繁荣。

        下了一夜的暴雨，河里的水涨得满满的。春洪夹带着泥石从山上奔泻直下，发出隆隆的响声。空气里弥漫着泥土的芳香，显得格外清新。农民施密特嘴里含着烟斗刚从市场回来。突然在转弯处洪水溢出河面滚滚而来。一个3岁左右正在旁边嬉玩的孩子被这景象惊得不知所措，两手握着拳头呆呆站在那里。一个浪头过来把他卷了进去。灾难眼看就要发生。施密特赶紧飞奔上前，纵身一跃把孩子从水里一把抱起。他没有想到，救起的这个孩童后来成为历史上最伟大的数学家之一。他就是和阿基米德、牛顿齐名的卡尔·弗雷德里希·高斯。由于他非凡的数学才华和伟大成就，人们尊崇他为“数学王子”。

        可是这位年幼王子的血统和王室丝毫无缘。1777年4月30日，高斯诞生于德国不伦瑞克城。祖父是贫苦的农民。父亲约翰·狄特里希是个园艺工人，还当过运河看守人和泥瓦匠。他识字不多，但是为人诚实耿直，做事一丝不苟，在家相当严厉。母亲陶乐珊·本茨是石匠的女儿，聪明直率，性格坚强。陶乐珊34岁的时候和约翰结婚，独生子高斯是她的心肝宝贝。她了解爱子的兴趣和才能，积极支持他求学上进。约翰于1806年去世。此后高斯母子俩在长期坎坷的生活道路上相依为命，感情至深。高斯成名以后尽心竭力使母亲度过安乐的晚年。在她生命的最后4年，93岁高龄的陶乐珊双目已经完全失明。在母亲的长期病患中，高斯一直亲自在旁侍候。

         人们一定会奇怪，像高斯这样的劳动者家庭，在德国比比皆是。双亲的文化知识和他们的财富一样贫乏。他们既供养不起孩子上大学深造，也无力对他的学业作指导。可是偏偏在不伦瑞克的这所简陋木屋里，飞出了一只震惊世界的金凤凰!这是为什么呢?

        在整个数学史上，没有人像高斯那样早熟。说来简直令人难以置信，他在3岁的时候就已经显示出不凡的智慧。有一个星期六，约翰在费力地计算他管辖下工人的周薪，没有察觉儿子正好在旁看着。结果好容易计算出来，他深深地松了一口气。不料小高斯过来拉拉他的衣角，细声说：

        “算错啦，爸爸。总数是……”

         约翰惊讶不已，决定重算一遍，果然，儿子是对的!后来高斯曾半开玩笑地说：

        “我在学会说话以前，已经学会计算。”

         家里的确没有人教过他算术。很可能是小高斯自己在学字母的时候，学会了1、2、3、4的意思。

         天刚蒙蒙发亮，爸爸已经在园子里默默地干活。小高斯十分懂事。他跟着妈妈，一会儿帮着给小鸡喂食，一会儿忙着把一盆盆鲜花端出去晒太阳。家里的惟一常客是舅舅弗雷德里希·本茨。他是位技术高超的锦缎织工，勤学好思，头脑机敏。舅舅十分疼爱聪明的小外甥。他一来总要给小高斯讲故事，做游戏，有时还带他出去捉蝴蝶，钓鱼，采蘑菇，……和舅舅相处的这些愉快的时光，一直珍藏在高斯的记忆里。

         4月的一天，风和日丽。小高斯骑在舅舅的肩上学“骑马”。他手里拿着一根小树枝，嘴里高声叫着：“戛!戛!”俨然是位威武的将军。突然，嗒嗒奔跑着的“马”停了下来。原来，在河的上游漂来一根木头。

        “小高斯，你说木头为什么不沉下去?”

        “木头轻呗!”小高斯不假思索地回答。

   舅舅弯下腰，拾起一颗小石子，又问：“这颗石子重还是那段木头重?”

   “木头重。大木头重多啦!”

   弗雷德里希并不吱声。只见他用力一扔，扑通一声，石子沉到了河底。

         “．．．．．．"

        舅舅没有给小外甥解释，为什么比大木头轻的小石子会沉下去，但是，这件事给小高斯留下难忘的印象。他认识到，要达到正确的结论，必须有严密的推理。他逐渐养成习惯，遇事一定要问它几个“为什么”。

        舅舅是个有心人。为了让小外甥更好地成长，他省吃俭用，买来不少有趣的书籍。这一本本趣味盎然的小书使小高斯爱不释手。那里面有以损人开始、以害己告终的狡猾的狐狸和助人为乐的小白兔，也有孜孜以求的先贤哲人和为自由而壮烈献身的英雄。逢到这种时光，妈妈做起事来就蹑手蹑脚，生怕惊动孩子的思考。看着儿子那种着迷的神情，约翰只好无可奈何地摇摇头。这也难怪，因为哪家的穷孩子能够逃脱流汗干活的命?书读得再好，有什么用呢?到了冬天，天还没有全黑，爸爸就催他上顶楼睡觉。这样既能够节省燃料，第二天还可以早些起床，帮着干活。顶楼又矮又小，直起身子来，就会碰脑袋。最糟糕的是上面没有灯，看书成了问题。小高斯急中生智，想出个好办法。他找来一棵芜菁，把里面挖空，塞进油脂，再用粗棉搓一根棉条做灯芯。借着微弱如豆的光亮，他蜷缩着身子，贪婪地咀嚼着书里的每一个字。知识的泉水汩汩地滋润着高斯幼小的心田。等到油脂烧尽，发出缕缕青烟，已经是寒气袭人，夜深人静了。

一过7岁生日，小高斯挎着妈妈做的新书包，高高兴兴进入当地的国民小学。可惜，这所小学相当落后，并不叫人羡慕。校舍破旧不堪，讲课完全随教师的高兴。管理学校的是个名叫布特纳的老师，他性情粗暴，动辄揪着小学生的耳朵罚站墙角。100多名小学生见到他，就像老鼠见了猫，吓得几乎连自己的名字都记不清了。可是，就在这个使孩子胆战心惊的地方，高斯找到了幸运。

        1787年，小高斯刚满10岁。一天，神情严厉的布特纳夹着讲义来上算术课。一上讲台，他背过身子在黑板上写下一串长长的算式：

         81297+81495+81693+…+100899=?

后一数都比前一数大198，一共100个数相加。一看这长长的式子，学生们都害怕得低下了头，连大气也不敢出。学校的规矩是，第一个算出答数的孩子把他的石板放在讲台上，第二个就放在第一个上面，……老师刚写完题目，小高斯轻轻地走上前来，把石板放在讲台上说：

        “老师，放在这里啦。”

        看到其余的孩子都在满头大汗地一个个数相加，老师根本不相信，这个班上年纪最小的学生会创造出什么奇迹。

       “谁不动脑子，想胡乱写一个数交差了事，可得当心!”布特纳一边说，一边样子吓人地挥舞着他那硕大的拳头。

        可是，小高斯沉静地坐在椅子上，对老师的警告毫不理会。下课以后，布特纳把石板都看了一遍，在小高斯的石板上只有简单的一个数。高斯在晚年的时候曾经提到，在班上的所有答案中只有他是对的；不过他没有说明是怎样计算出来的。

        高斯通向不朽光荣的大门从此打开。布特纳买来最好的算术书送给小高斯。不费多少力气，小高斯把它们一览而过。

       “他已经超过我，”布特纳不得不承认，“我没有更多东西可以教他了。”

事情可能是这样。布特纳本人对这个孩子已经帮不了什么忙。幸好，这位校长有个年轻的助手，名叫约翰·马丁·巴蒂尔。他的工作是教小学生写字和削鹅翎笔。巴蒂尔身材颀长，有一双和善的大眼睛，对数学有特殊的爱好。小高斯很快和他结成形影不离的好朋友。共同的志趣培育着年轻助手和10岁小学生之间的温暖友情。他们的真诚友谊一直保持到巴蒂尔去世。两位好朋友一起学习，相互切磋。巴蒂尔买来的代数和分析书籍成了他们共同的课本。他们冲破一道道障碍，解决一个个疑难。尤为可贵的是，现成的结论已经不能使小高斯满足。他以批判的眼光对书上的结论逐个进行审查，一连要问上几个“为什么”。在这个基础上，他开始对数学大师们的某些“证明”不客气地提出挑战。

 一只勇敢的雏鹰，拍拍翅膀，振翅欲飞了!

        “高斯!……高斯!”

        巴蒂尔从东头跑到西头，就是不见小高斯的踪影，等到他在大树下找到正在看书的小伙伴，已经是汗流浃背，上气不接下气。巴蒂尔今天特别兴奋，书店老板把他们盼望已久的欧拉著的《代数的完整介绍》买到啦。这是公认的代数学的权威著作。看到巴蒂尔手里高高举着的新书，小高斯高兴得连蹦带跳，一连在地上打了两个滚。他们顾不上多说话，立刻如饥似渴地阅读起来。书一页页唰唰地向后翻去，太阳不声不响地躲到山的后边。在看到“二项式定理”的时候，小高斯倏地站了起来。注视着静静流去的河水，他陷入沉思。

在中学代数里，我们知道，

        (1+x)¹=1+x，

(1+x)²=1+2x+x²，

……………………………………..

(1+x)ⁿ=…….，

这就是所谓“二项式定理”，其中n是正整数。如果n不是正整数，右边就有无限多项，这时要使等式成立，x和n必须有一定限制，否则可能出现荒谬的结果。举例来说，假如x=-2，n=-1，左边就是(1-2)^-1，等于-1；而右边则是

         1+2+2²+2³+…就是说-1等于“无穷大”。这当然是错误的。

         高斯以前的数学家们，有的(例如欧拉)虽然已经注意到这种奇怪而荒唐的现象，可惜他们并没有花功夫去研究它和解释它。甚至可以说，他们的内心深处似乎不愿意去考虑这个问题：在无穷级数的运算中应该施加些什么限制。他们陶醉在分析在应用中的辉煌成就，热衷于扩大新的战果，而无暇顾及推理的严密性。老数学家们所忽视的这个极端重要的问题，现在被这个10岁孩童紧紧抓住了。小高斯发觉，可能导出“-1等于无穷大”这一类荒谬结果的证明，根本算不上是证明。必须把二项式定理适用的条件明确指出来。尽管这项工作已经超出初等数学的范围，这位第一个认真对待无穷大的学童坚持作出自己的证明。

        无限过程的正确运用正是分析的精髓所在。现在，工作从一开始就有良好的开端。高斯被公认为现代数学中第一个严格证明论者，他对分析的严密性的要求逐渐影响整个数学。从高斯和同时代的柯西、阿贝尔以及他们的后继者维尔斯特拉斯、戴德金等人以后，数学的面貌同牛顿、欧拉和拉格朗日时代完全不同了。

        在数学上，高斯不仅是严格证明论者，而且是无畏的革命者。他以对二项式定理证明的那种批判精神，在12岁的时候就对统治了2000多年的欧几里得几何是否是惟一的几何真理产生怀疑；到16岁，他已经清楚地看到非欧几何的曙光。这在当时，就像当年哥白尼提出“日心说”一样，无疑是地地道道的“大逆不道”。一年以后，高斯又开始对数论的某些证明进行彻底批判，尽管前辈们对它们已经相当满意。无懈可击的严密性加上前所未有的创造性，在高斯研究工作的一开始就得到无与伦比的结合。

        高斯的这种特点，无疑反映了他本人超凡的智慧。不过这也不完全是从他个人头脑里凭空产生的。在他的工作中，我们可以清晰地听到资本主义新时代脉搏的跳动。在高斯的青少年时代，蒸汽机和纺织机震耳欲聋的轰鸣声不断从英吉利海峡彼岸传来，破坏了德国田园牧歌式的谧静。新的机器和发明犹如雨后春笋，不断涌现。机器日益精密，它们需要更为严密的理论。与此同时，从巴士底狱升起法国大革命的冲天火光和英国工业革命遥相呼应。它摧毁了欧洲的封建城堡，也焚烧了囚禁革命性科学思想的樊笼。批判旧世界的呼声空前高涨。在这种形势下，深受法国启蒙思想熏陶的高斯提出这样的问题就不足为怪了。既然千百年来被视作神圣的帝王统治可以被推翻，为什么一向被奉若神明的欧几里得几何不容有丝毫怀疑?因此，充满复杂的公式和各种符号的高斯的杰作和他同时代的同胞歌德(1749—1832)和席勒(1759—1805)的光辉诗篇、贝多芬(1770—1827)的不朽乐章、黑格尔(1770—1831)的辩证法一样，都是在他们各自领域里最有力地表现出时代的精神。

        夜幕徐徐降落，喧闹的国民小学已经鸦雀无声。在教室里看书的小高斯收拾起书包回家。走出校门，他发觉外面比黑洞洞的教室要亮不少，忍不住又把书取出，阅读起来。他在暮色下边走边看，不知不觉来到斐迪南公爵的不伦瑞克宫的门口。正在花园散步的公爵夫人十分惊奇：一个小孩子捧着一本厚厚的书竟看得这样入迷?她叫住孩子，问他叫什么名字，看的是什么书。大大出乎这位贵妇人的意料，小孩子看的竟是大学者欧拉的专著——《微分学原理》!公爵夫人把这事告诉了公爵。公爵曾听人说起过，不伦瑞克有个聪明过人的孩子，不过当时他半信半疑，不大在意。这次听夫人一说，果有其事，立刻决定第二天在宫殿亲自见见这个孩子。

        公爵大人要召见一个普通园丁的儿子，这种新鲜事儿，以前谁也没有听说过。约翰听到公爵的传唤，默坐一旁，闷着头一个劲儿抽烟，不知道明天等待着的是祸是福。妈妈左叮咛右嘱咐，生怕儿子在这样重大的场面出什么差错。其实，这完全是过虑。别看高斯小小年纪，谈吐举止却是端庄持重，宛如一个极有教养的大人。第二天，小高斯穿一身从箱底翻出来的稍嫌肥大的新衣服，拘谨地跟在魁伟的巴蒂尔后面，来到宫殿。公爵一见孩子长得眉清目秀，已经有几分喜欢。

         “你是约翰的儿子?”公爵问。

         “是，大人。”

         “听说你读过很多书?”

         “……”高斯含羞地低下头，不知怎样回答才好。

         “你能告诉我1234 5678等于多少?”斐迪南特意准备了两道算题想当面考考孩子。

         一听到计算，小高斯一双大眼睛立刻明亮起来：

        “7006652。”

         “那么1357997531呢?”

         公爵夫人和周围的人还在思索刚才的答案，只听得小高斯清楚说出它的结果：

        “1324373449。”

        多次获得过军功勋章、素以骁勇善战著称的斐迪南公爵难得在当面夸奖一个人。今天在这个小孩子面前，他不由得连连点头。在自己的领地里有这样一位神童，他感到自豪。其余的人更是个个瞪大眼睛，惊奇得说不出一句话。

    “你想不想上大学?”

         “是的，大人。”小高斯完全清楚，自己的家里穷，上不起大学。爸爸几次和自己提起过，要学好手艺，准备将来继承他的“事业”。所以他不愿多想上大学的事。只有一次，小高斯跟妈妈谈起自己的心愿：要是将来有一天，即使不能像牛顿、欧拉那样上大学念书，只要能在大学图书馆里找一个差使，到了晚上，在里面想看什么书有什么书，就心满意足啦。妈妈听着听着，不觉一阵心酸，一把将他搂在怀里噙着泪说：“好孩子，妈一定给你想办法。”不过小高斯心里明白，要上大学图书馆实际上也希望渺茫。为了不让妈妈伤心，后来他再也不提这件事了。这时，他只听到公爵微笑着说：

        “好，我来帮助你。”

        小高斯高兴得心怦怦直跳。意想不到的幸运降临到他的头上!公爵答应，从现在起由他负担一切费用，直到高斯大学毕业。

        诞生在18世纪末叶的德国，对高斯来说算是幸运。当时，英国工业革命的熊熊烈火已经烧到欧洲大陆，海洋上一艘艘喷着浓烟的炮舰趾高气扬，横冲直撞；商店橱窗里堆满争奇斗艳的花布；统治阶级中一切有识之士第一次看到科学技术的无比威力。为了战争和享乐的需要，他们开始关心教育和科学的发展。小城镇办起了国民小学；学术赞助人成为时髦的头衔。科学走出宫廷和贵族的沙龙得到空前的发展。数量众多的学者从各阶级、各阶层涌现出来。默默无闻的园丁的儿子才有可能受到公爵大人的青睐。要是时间稍稍提前100年，情况就截然不同。那时知识只属于有闲的贵族集团，知识分子寥若晨星。一个普通劳动人民的儿子——高斯，纵然有天大的才华，恐怕也难逃园丁或泥瓦匠的命运了。

        高斯深深懂得，上学的机会来之不易。母亲的期望，老师的鼓励，公爵的器重，激励他更加勤奋刻苦地学习。

        13岁那年，高斯考入大学预科学校，着重进修古代语言。他在语言学方面显示出来的才能使老师和同学赞叹不已。他很快精通拉丁语和希伯来语，并且对语言学发生浓厚的兴趣。后来，他用优美的拉丁文写下许多不朽的名著。法国革命和拿破仑失败以后，欧洲出现民族主义的浪潮。科学家纷纷使用本国文字来写论文，他后期的著作也改用德文了。

        1792年初，15岁的高斯进卡罗琳学院学习，掌握了欧拉和拉格朗日的著作，特别是精通了牛顿的《自然哲学的数学原理》。从少年时代起，他就十分敬重牛顿。在他的著作中，对欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和勒让德等人都有极高的评价，但是对牛顿，高斯认为他“至高无上”。在古代数学家中，他最推崇阿基米德。只有一点他感到遗憾：为什么阿基米德在计算沙粒的时候不发明十进位或相当的计数制呢?他认为，不然的话，今天的科学将远远超过现有的成就。

        1795年秋，高斯提着一只破旧的小皮箱，离开卡罗琳学院来到格丁根大学。10月的格丁根秋高气爽。位于德国中部的这座幽静小城沐浴在金色阳光下，显得分外妩媚迷人，仿佛在热情欢迎这位远道而来的年轻大学生。后来除去短时间的离开，高斯在这里工作、生活直到生命的最后一刻。由于他和后继者的杰出工作，遐迩闻名的格丁根学派从此崛起。格丁根成了举世瞩目的学术中心。这时候，高斯虽然是个学生，但是在数学上已经取得一系列的重要成就，特别是对数论中的二次互反律，他第一个作出严格的证明。这是他经过无数次失败才挖掘出来的一颗无比瑰丽的“算术的珍宝”。在本书第六章有关欧拉的工作中，我们已介绍过，仅仅发现这个定理就是个了不起的成就。欧拉发现过这个定理，但是他没有证明。他只是举几个例子作为验证。勒让德在1785年独立宣布了这一定理，并且先后给出两个证明。可惜他的证明不完备，因为他回避了一些重要的难点。这个被认为是18世纪数论中最重要的定理，使多少大名鼎鼎的数学家束手无策，却被当时尚不知名的高斯迎刃而解。1795年，他不仅独立发现这个定理，并且第一个作出严格的证明。在证明中，他表现了惊人的技巧。他把数学归纳法运用得如此出神入化，以致凡是见过这证明的数学家无不拍案叫绝。鉴于它的宝贵和重要，高斯称二次互反律是“黄金定理”。对于这样重要的定理，有一个证明还不能使他满足。他反复思考多年，先后给出6个不同的证明。今天我们知道的证明已经有50个左右。对某一定理给予各种不同的证明是高斯研究上的一大特点。他认为“绝不能以为”获得一个证明以后“研究便告结束，或把寻找另外的证明当作多余的奢侈品”。因为，“有时候，你一开始未能得到一个最简单、最美妙的证明，但正是这样的证明才能深入到高等算术真理的奇妙联系中去。这是我们继续研究的动力，并且最能使我们有所发现。”

        发表这一重大发现无疑会使他一举成名，默默无闻的穷大学生一夜之间将成为举世闻名的大数学家。面对荣誉的诱惑，高斯没有动心。他小心翼翼地把这颗珍宝和其他发现一起关进他褐色的小皮箱。他还没有作出抉择，究竟是数学还是语言学作为自己终身的事业，因为他在语言学方面同样有浓厚的兴趣和非凡的才能。错失一次成名的良机，他并不感到惋惜。

欲知后事如何，且看下期分解；

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